Materi Pelajaran Matematika
Kelas 9 BAB 1 Kesebangunan dan Kekongruenan
1.
Dua bangun datar yang sebangun
Kedua
bangun di atas, ABCD dan KLMN adalah dua bangun yang
sebangun, karena memiliki sifat-sifat sebagai berikut :
2.
Dua segi tiga yang sebangun
Segitiga ABC dan PQR adalah sebangun, karena memiliki sifat :
a.
Perbandingan sisi yang sama besar bersesuaian sama besar,
yaitu :
Jadi,
Perhatikan
segitiga berikut
!
Pada segitiga siku-siku dapat dibuat garis tinggi ke sisi miring, maka
diperoleh rumus :
AB2
= BD x BC
AC2
= CD x CB
AD2
= BD x CD
Kongruenan Bangun
1. Dua bangun
datar yang kongruen
Perhatikan
dua bangun datar berikut !
KL
= PQ
LM
= QR
MN
= RS
NK
= SP
KLMN
dan PQRS kongruen. Dua bangun dikatakan kongruen jika kedua bangun tersebut
memiliki bentuk dan ukuran yang sama.
2.
Dua segitiga yang kongruen
Secara
geometris dua segitiga konsruen adalah dua segitiga yang saling menutpi dengan
tepat. Sifat dua segitiga kongruen :
a.
Pasangan
sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang.
b.
Sudut
yang bersesuaian sama besar.
Syarat dua segitiga kongruen adalah sebagai berikut :
Tiga sisi yang bersesuaian sama besar (sisi,
sisi, sisi)
AB
= PQ (sisi)
AC
= PR (sisi)
BC
= QR (sisi)
Dua sisi dan satu sudut apit yang bersesuaian sama besar
(sisi, sudut, sisi)
AB
= PQ (sisi)
BC
= QR (sisi)
c.
Satu sisi api dan dua sudut bersesuaian sama besar (sudut, sisi,
sudut)
AC
= RP (sisi)
CONTOH
SOAL
Materi Pelajaran Matematika
Kelas 9 BAB 2 Bangun Ruang Sisi Lengkung
Di
sekitar kita banyak dijumpai benda-benda yang merupakan refleksi dari bangun
ruang sisi lengkung. Bahkan benda-benda tersebut sering kita gunakan baik
sebagai peralatan maupun permainan. Sebut saja bola, kelereng, kaleng minuman,
bedug, terompet, dan corong. Jika demikian, benda-benda tersebut tidak asing
lagi bagi kita. Benda-benda tersebut merupakan refleksi dari bangun ruang yang
berupa bola, tabung, dan kerucut. Akan lebih menyenangkan jika kita dapat
mengetahui berapa banyak benda-benda tersebut menampung udara, air, serta
berapa panjang dan luas kulit bola atau kaleng tersebut. Untuk itu kita akan
pelajari lebih lanjut dalam bab Bangun Ruang Sisi Lengkung. Setelah mempelajari
bab ini diharapkan kalian dapat mengidentifikasi unsur-unsur tabung, kerucut,
dan bola serta menghitung luas selimut dan volume bangun tersebut. Yang tak
kalah penting adalah kalian dapat memecahkan masalah yang berkaitan dengan
bangun ruang tersebut.
A. Tabung (Silinder)
Perhatikan
gambar di samping. Bentuk apakah yang dimanfaatkan alat musik tersebut. Mengapa
drum selalu berbentuk tabung?
Sebelum
kita mempelajari lebih lanjut mengenai tabung, coba sebutkan benda-benda di
sekitar kalian yang berbentuk tabung. Berikut ini akan kita pelajari berbagai
hal tentang tabung.
a.
Unsur-unsur Tabung
Dapatkah kalian menyebutkan unsur-unsur sebuah tabung? Agar dapat menjawabnya, lakukanlah kegiatan berikut.
Dapatkah kalian menyebutkan unsur-unsur sebuah tabung? Agar dapat menjawabnya, lakukanlah kegiatan berikut.
Dari
kegiatan tersebut kita akan dapat mengetahui unsur-unsur tabung. Salin dan
isikan unsur-unsur itu pada tempat yang tersedia.
a. Tinggi tabung ....
b. Jari-jari alas tabung ... dan jari-jari atas tabung ....
c. Diameter alas tabung ... dan diameter atap tabung ....
a. Tinggi tabung ....
b. Jari-jari alas tabung ... dan jari-jari atas tabung ....
c. Diameter alas tabung ... dan diameter atap tabung ....
d.
Alas dan atap tabung berupa bidang datar yang berbentuk ....
e. Selimut tabung berupa bidang lengkung. Apabila dibuka dan dilembarkan berbentuk ....
e. Selimut tabung berupa bidang lengkung. Apabila dibuka dan dilembarkan berbentuk ....
b.
Jaring-jaring Tabung
Dari kegiatan sebelumnya kita dapat mengetahui bahwa tabung atau silinder tersusun dari tiga buah bangun datar, yaitu:
a. dua buah lingkaran sebagai alas dan atap silinder,
b. satu buah persegi panjang sebagai bidang lengkungnya atau selimut tabung.
Dari kegiatan sebelumnya kita dapat mengetahui bahwa tabung atau silinder tersusun dari tiga buah bangun datar, yaitu:
a. dua buah lingkaran sebagai alas dan atap silinder,
b. satu buah persegi panjang sebagai bidang lengkungnya atau selimut tabung.
Rangkaian
dari ketiga bidang datar itu disebut sebagai jaring-jaring tabung. Coba kalian
gambarkan jaring-jaring dari kaleng tersebut. Apakah kalian mendapatkan
jaring-jaring tabung seperti gambar berikut?
Gambar
2.3 menunjukkan jaring-jaring sebuah tabung dengan jari-jari alas dan atapnya
yang berupa lingkaran adalah r dan tinggi tabung adalah t.
Jaring-jaring
tabung terdiri atas:
a. Selimut tabung yang berupa persegi panjang, dengan panjang selimut sama dengan keliling lingkaran alas tabung 2πr dan lebar selimut sama dengan tinggi tabung t.
b. Dua lingkaran dengan jari-jari r.
a. Selimut tabung yang berupa persegi panjang, dengan panjang selimut sama dengan keliling lingkaran alas tabung 2πr dan lebar selimut sama dengan tinggi tabung t.
b. Dua lingkaran dengan jari-jari r.
Sebuah
benda berbentuk tabung memiliki jari-jari r dan tinggi t. Jika kalian ingin
membuat tabung dari kertas yang ukurannya tepat sama dengan ukuran benda
tersebut, berapakah luas kertas yang kalian perlukan? Untuk menjawabnya,
pelajari uraian materi berikut.
a.
Luas Selimut
Dengan memerhatikan gambar 2.3, kita dapat mengetahui bahwa luas seluruh permukaan tabung atau luas sisi tabung merupakan jumlah dari luas alas ditambah luas selimut dan luas atap. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar jaring-jaring tabung sekali lagi.
Dengan memerhatikan gambar 2.3, kita dapat mengetahui bahwa luas seluruh permukaan tabung atau luas sisi tabung merupakan jumlah dari luas alas ditambah luas selimut dan luas atap. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar jaring-jaring tabung sekali lagi.
Sehingga
kita dapatkan rumus:
b.
Volume Tabung
Tabung merupakan pendekatan dari prisma segi-n, dimana n mendekati tak hingga. Artinya, jika rusuk-rusuk pada alas prisma diperbanyak maka akan membentuk sebuah tabung dimana hanya mendekati satu bidang alas, satu bidang atas dan satu sisi tegak. Karena alas dan tutup tabung berbentuk lingkaran maka volume tabung adalah perkalian luas daerah lingkaran alas dengan tinggi tabung.
Tabung merupakan pendekatan dari prisma segi-n, dimana n mendekati tak hingga. Artinya, jika rusuk-rusuk pada alas prisma diperbanyak maka akan membentuk sebuah tabung dimana hanya mendekati satu bidang alas, satu bidang atas dan satu sisi tegak. Karena alas dan tutup tabung berbentuk lingkaran maka volume tabung adalah perkalian luas daerah lingkaran alas dengan tinggi tabung.
Perhatikan
gambar di samping. Pernahkan kalian melihat bangunan ini? Jika kita cermati
bentuknya, bangunan tersebut merupakan refleksi dari bangun ruang dengan sisi
lengkung yaitu kerucut.
a.
Unsur-unsur Kerucut
Untuk lebih memahami unsur-unsur kerucut, dapat kita ilustrasikan seperti pada gambar 2.5 berikut.
Untuk lebih memahami unsur-unsur kerucut, dapat kita ilustrasikan seperti pada gambar 2.5 berikut.
Dengan
mengamati gambar tersebut, kita dapat mengetahui unsur-unsur kerucut dengan melengkapi
pernyataan berikut.
1) Tinggi kerucut = ….
2) Jari-jari alas kerucut = ….
3) Diameter alas kerucut = ….
4) Apotema atau garis pelukis = ….
1) Tinggi kerucut = ….
2) Jari-jari alas kerucut = ….
3) Diameter alas kerucut = ….
4) Apotema atau garis pelukis = ….
b.
Jaring-jaring Kerucut
Berdasarkan kegiatan dan gambar di atas kita ketahui bahwa kerucut tersusun dari dua bangun datar, yaitu lingkaran sebagai alas dan selimut yang berupa bidang lengkung (juring lingkaran). Kedua bangun datar yang menyusun kerucut tersebut disebut jaring-jaring kerucut. Perhatikan gambar berikut.
Berdasarkan kegiatan dan gambar di atas kita ketahui bahwa kerucut tersusun dari dua bangun datar, yaitu lingkaran sebagai alas dan selimut yang berupa bidang lengkung (juring lingkaran). Kedua bangun datar yang menyusun kerucut tersebut disebut jaring-jaring kerucut. Perhatikan gambar berikut.
Gambar
2.6(a) menunjukkan kerucut dengan jari-jari lingkaran alas r, tinggi kerucut t,
apotema atau garis pelukis s. Terlihat bahwa jaring-jaring kerucut terdiri atas
dua buah bidang datar yang ditunjukkan gambar 2.6 (b) yaitu:
a. selimut kerucut yang berupa juring lingkaran dengan jari-jari s dan panjang busur 2πr,
b. alas yang berupa lingkaran dengan jari-jari r.
a. selimut kerucut yang berupa juring lingkaran dengan jari-jari s dan panjang busur 2πr,
b. alas yang berupa lingkaran dengan jari-jari r.
Dapatkah
kalian menghitung luas bahan yang diperlukan untuk membuat kerucut dengan
ukuran tertentu? Perhatikan uraian berikut.
a.
Luas Selimut
Dengan memerhatikan gambar, kita dapat mengetahui bahwa luas seluruh permukaan kerucut atau luas sisi kerucut merupakan jumlah dari luas juring ditambah luas alas yang berbentuk lingkaran. Untuk lebih jelasnya perhatikan jaring-jaring kerucut ini.
Dengan memerhatikan gambar, kita dapat mengetahui bahwa luas seluruh permukaan kerucut atau luas sisi kerucut merupakan jumlah dari luas juring ditambah luas alas yang berbentuk lingkaran. Untuk lebih jelasnya perhatikan jaring-jaring kerucut ini.
Jadi
luas juring TAA1 atau luas selimut kerucut dapat ditentukan.
Karena
luas selimut kerucut sama dengan luas juring TAA1 maka kita
dapatkan:
Sedangkan
luas permukaan kerucut
=
luas selimut + luas alas kerucut
= πrs + πr2
= πr (s + r)
Jadi
= πrs + πr2
= πr (s + r)
Jadi
dengan
r = jari-jari lingkaran alas kerucut
s = garis pelukis (apotema)
s = garis pelukis (apotema)
b.
Volume Kerucut
Kerucut dapat dipandang sebagai limas yang alasnya berbentuk lingkaran. Oleh karena itu kita dapat merumuskan volume kerucut sebagai berikut.
Kerucut dapat dipandang sebagai limas yang alasnya berbentuk lingkaran. Oleh karena itu kita dapat merumuskan volume kerucut sebagai berikut.
Hubungan
antara r, t dan apotema (s) adalah s2 = r2 + t2
c.
Luas Selimut dan Volume Kerucut Terpancung
1)
Luas selimut
Luas selimut kerucut terpancung adalah luas kerucut besar dikurangi luas selimut kerucut kecil. Kerucut besar ACC' mempunyai tinggi t1, jari-jari r, dan apotema s1. Sedangkan kerucut kecil ABB' mempunyai tinggi t2, jari-jari r2, dan apotema s2. Luas selimut kerucut terpancung adalah luas selimut kerucut besar dikurangi luas selimut kecil.
Luas selimut kerucut terpancung adalah luas kerucut besar dikurangi luas selimut kerucut kecil. Kerucut besar ACC' mempunyai tinggi t1, jari-jari r, dan apotema s1. Sedangkan kerucut kecil ABB' mempunyai tinggi t2, jari-jari r2, dan apotema s2. Luas selimut kerucut terpancung adalah luas selimut kerucut besar dikurangi luas selimut kecil.
Perhatikan
gambar di samping. Mengapa dalam olahraga bowling, benda yang dilemparkan
berbentuk bola? Apakah kelebihannya sehingga benda-benda berbentuk bola
digunakan dalam olahraga sepak bola, bola voli, bowling, dan billiard? Agar
dapat lebih mengenal bangun bola, pelajarilah materi berikut ini.
Perhatikan
gambar berikut.
Suatu
lingkaran diputar setengah putaran dengan diameter sebagai sumbu putarnya akan
diperoleh bangun ruang seperti gambar 2.10 (b). Bentuk bangun yang demikian
disebut bola dengan jari-jari bola r dan tinggi d.
Sebelum
mempelajari luas selimut dan volume bola, lakukanlah kegiatan berikut.
Ternyata
dari kegiatan di atas kita dapat merumuskan luas selimut atau permukaan (sisi)
bola. Jika jari-jari alas tabung tersebut r dan tingginya sama dengan diameter
d, maka luas selimut atau sisi bola dengan jari-jari r adalah:
Pada
rumus mencari volume bangun ruang sisi lengkung, semua tergantung pada
unsur-unsur bangun tersebut, misalnya jari-jari dan tinggi bangun tersebut.
a.
Perbandingan Volume Tabung
Apabila ada dua buah tabung dengan tinggi yang sama, tetapi jari-jari berbeda, maka perbandingan kedua volume tabung sama dengan perbandingan kuadrat masing-masing jari-jarinya.
Apabila ada dua buah tabung dengan tinggi yang sama, tetapi jari-jari berbeda, maka perbandingan kedua volume tabung sama dengan perbandingan kuadrat masing-masing jari-jarinya.
b.
Perbandingan Volume pada Kerucut
Apabila ada dua buah kerucut dengan tinggi sama, tetapi jari-jari alasnya berbeda, maka perbandingan volume kedua kerucut dengan perbandingan kuadrat masing-masing jari-jarinya.
Apabila ada dua buah kerucut dengan tinggi sama, tetapi jari-jari alasnya berbeda, maka perbandingan volume kedua kerucut dengan perbandingan kuadrat masing-masing jari-jarinya.
c.
Perbandingan Volume pada Bola
Apabila ada dua buah bola dengan jari-jari yang berbeda, maka perbandingan volumenya sama dengan perbandingan di pangkat tiga dan masing-masing jari-jarinya.
Apabila ada dua buah bola dengan jari-jari yang berbeda, maka perbandingan volumenya sama dengan perbandingan di pangkat tiga dan masing-masing jari-jarinya.
a.
Selisih Volume pada Tabung
Sebuah tabung dengan jari-jari lingkaran alas r1 dan tinggi t diperbesar sehingga jari-jari lingkaran alas menjadi r2 dengan r2 > r1 dan tinggi tetap. Maka berlaku:
Sebuah tabung dengan jari-jari lingkaran alas r1 dan tinggi t diperbesar sehingga jari-jari lingkaran alas menjadi r2 dengan r2 > r1 dan tinggi tetap. Maka berlaku:
b.
Selisih Volume pada Kerucut
Sebuah kerucut dengan jari-jari lingkaran alas r1 dan tinggi t diperbesar sehingga jari-jari lingkaran alas menjadi r2 dengan r2 > r1 dan tinggi tetap. Berlaku:
Sebuah kerucut dengan jari-jari lingkaran alas r1 dan tinggi t diperbesar sehingga jari-jari lingkaran alas menjadi r2 dengan r2 > r1 dan tinggi tetap. Berlaku:
Jadi
selisih volumenya:
dengan
r1 = jari- jari awal r2 = jari-jari setelah diperbesar
Bagaimana jika jari-jari kerucut diperpanjang sebesar k satuan? Ternyata
berlaku r2 = r1 + k, sehingga:
c.
Selisih Volume pada Bola
Sebuah bola dengan jari-jari r1 diperbesar sehingga jarijarinya menjadi r2 dengan r2 > r1. Berlaku:
Sebuah bola dengan jari-jari r1 diperbesar sehingga jarijarinya menjadi r2 dengan r2 > r1. Berlaku:
Jadi
selisih volumenya:
dengan
r1 = jari-jari awal, r2 = jari-jari setelah diperbesar
Bagaimana jika jari-jari bola diperpanjang sebesar k satuan? Ternyata berlaku r2 = r1 + k, sehingga:
Bagaimana jika jari-jari bola diperpanjang sebesar k satuan? Ternyata berlaku r2 = r1 + k, sehingga:
Materi Pelajaran Matematika Kelas 9 BAB 3 Statistika
Statistika
Statistika adalah ilmu yang mempelajari
bagaimana merencanakan, mengumpulkan, menganalisis, menginterpretasi, dan
mempresentasikan data. Singkatnya, statistika adalah ilmu yang berkenaan dengan
data. Istilah 'statistika' (bahasa Inggris: statistics) berbeda dengan
'statistik' (statistic). Statistika merupakan ilmu yang berkenaan dengan data,
sedang statistik adalah data, informasi, atau hasil penerapan algoritma
statistika pada suatu data. Dari kumpulan data, statistika dapat digunakan
untuk menyimpulkan atau mendeskripsikan data; ini dinamakan statistika
deskriptif. Sebagian besar konsep dasar statistika mengasumsikan teori
probabilitas. Beberapa istilah statistika antara lain: populasi, sampel, unit
sampel, dan probabilitas.
Statistika banyak diterapkan dalam berbagai
disiplin ilmu, baik ilmu-ilmu alam (misalnya astronomi dan biologi maupun
ilmu-ilmu sosial (termasuk sosiologi dan psikologi), maupun di bidang bisnis,
ekonomi, dan industri. Statistika juga digunakan dalam pemerintahan untuk
berbagai macam tujuan; sensus penduduk merupakan salah satu prosedur yang
paling dikenal. Aplikasi statistika lainnya yang sekarang popular adalah
prosedur jajak pendapat atau polling (misalnya dilakukan sebelum pemilihan
umum), serta jajak cepat (perhitungan cepat hasil pemilu) atau quick count. Di
bidang komputasi, statistika dapat pula diterapkan dalam pengenalan pola maupun
kecerdasan buatan.
. Diagram Garis
Penyajian data statistik dengan menggunakan
diagram berbentuk garis lurus disebut diagram garis lurus atau diagram garis.
Diagram garis biasanya digunakan untuk menyajikan data statistik yang diperoleh
berdasarkan pengamatan dari waktu ke waktu secara berurutan. Sumbu -X
menunjukkan waktu-waktu pengamatan, sedangkan sumbu Y menunjukkan nilai data
pengamatan untuk suatu waktu tertentu. Kumpulan waktu dan pengamatan membentuk
titik-titik pada bidang XY, selanjutnya kolom dari tiap dua titik yang
berdekatan tadi dihubungkan dengan garis lurus sehingga akan diperoleh diagram
garis atau grafik garis.
2. Diagram Lingkaran
Diagram lingkaran adalah penyajian data
statistik dengan menggunakan gambar yang berbentuk lingkaran. Bagian-bagian
dari daerah lingkaran menunjukkan bagianbagian atau persen dari keseluruhan.
Untuk membuat diagram lingkaran, terlebih dahulu ditentukan besarnya persentase
tiap objek terhadap keseluruhan data dan besarnya sudut pusat sektor lingkaran.
3. Diagram Batang
Diagram batang umumnya digunakan untuk
menggambarkan perkembangan nilai suatu objek penelitian dalam kurun waktu
tertentu. Diagram batang menunjukkan keterangan-keterangan dengan batangbatang
tegak atau mendatar dan sama lebar dengan batang-batang terpisah.
Contoh soal-X menunjukkan waktu-waktu
pengamatan, sedangkan sumbu Y menunjukkan nilai data pengamatan untuk suatu
waktu tertentu. Kumpulan waktu dan pengamatan membentuk titik-titik pada bidang
XY, selanjutnya kolom dari tiap dua titik yang berdekatan tadi dihubungkan
dengan garis lurus sehingga akan diperoleh diagram garis atau grafik garis.
2. Diagram Lingkaran
Diagram lingkaran adalah penyajian data
statistik dengan menggunakan gambar yang berbentuk lingkaran. Bagian-bagian
dari daerah lingkaran menunjukkan bagianbagian atau persen dari keseluruhan.
Untuk membuat diagram lingkaran, terlebih dahulu ditentukan besarnya persentase
tiap objek terhadap keseluruhan data dan besarnya sudut pusat sektor lingkaran.
3. Diagram Batang
Diagram batang umumnya digunakan untuk
menggambarkan perkembangan nilai suatu objek penelitian dalam kurun waktu
tertentu. Diagram batang menunjukkan keterangan-keterangan dengan batangbatang
tegak atau mendatar dan sama lebar dengan batang-batang terpisah.
Contoh soala) daftar atau tabel,
b) grafik atau diagram.
1. Penyajian Data dalam Bentuk Tabel
Misalkan, hasil ulangan Bahasa Indonesia 37
siswa kelas XI SMA 3 disajikan dalam tabel di samping. Penyajian data pada
Tabel 1.1 dinamakan penyajian data sederhana. Dari tabel 1.1, Anda dapat
menentukan banyak siswa yang mendapat nilai 9, yaitu sebanyak 7 orang. Berapa
orang siswa yang mendapat nilai 5? Nilai berapakah yang paling banyak diperoleh
siswa? Jika data hasil ulangan bahasa Indonesia itu disajikan dengan cara
mengelompokkan data nilai siswa, diperoleh tabel frekuensi berkelompok seperti pada
Tabel 1.2. Tabel 1.2 dinamakan Tabel Distribusi Frekuensi.
2. Penyajian Data dalam Bentuk Diagram
Kerapkali data yang disajikan dalam bentuk
tabel sulit untuk dipahami. Lain halnya jika data tersebut disajikan dalam
bentuk diagram maka Anda akan dapat lebih cepat memahami data itu. Diagram
adalah gambar yang menyajikan data secara visual yang biasanya berasal dari
tabel yang telah dibuat. Meskipun demikian, diagram masih
memiliki kelemahan, yaitu pada umumnya diagram tidak dapat memberikan
gambaran yang lebih detail.
a. Diagram Batang
Diagram batang biasanya digunakan untuk
menggambarkan data diskrit (data cacahan). Diagram batang adalah bentuk
penyajian data statistik dalam bentuk batang yang dicatat dalam interval
tertentu pada bidang cartesius. Ada dua jenis diagram batang, yaitu
1) diagram batang vertikal, dan
2) diagram batang horizontal.
b. Diagram Garis
Pernahkah
Anda melihat grafik nilai tukar dolar terhadap rupiah atau pergerakan saham di
TV? Grafik yang seperti itu disebut diagram garis. Diagram garis biasanya
digunakan untuk menggambarkan data tentang m keadaan yang berkesinambungan
(sekumpulan data kontinu). Misalnya, jumlah penduduk setiap tahun, perkembangan
berat badan bayi setiap bulan, dan suhu badan pasien setiap jam.Seperti halnya
diagram batang, diagram garis pun memerlukan sistem sumbu datar (horizontal)
dan sumbu tegak (vertikal) yang saling berpotongan tegak lurus. Sumbu mendatar
biasanya menyatakan jenis data, misalnya waktu dan berat
Adapun sumbu tegaknya menyatakan frekuensi data.
Langkah-langkah yang dilakukan untuk membuat diagram garis adalah sebagai
berikut.
1) Buatlah suatu koordinat (berbentuk
bilangan) dengan sumbu mendatar menunjukkan waktu dan sumbu tegak menunjukkan
data pengamatan.
2) Gambarlah titik koordinat yang menunjukkan
data pengamatan pada waktu t.
3) Secara berurutan sesuai dengan waktu,
hubungkan titiktitik koordinat tersebut dengan garis lurus.
c. Diagram Lingkaran
Untuk mengetahui perbandingan suatu data
terhadap keseluruhan, suatu data lebih tepat disajikan dalam bentuk diagram
lingkaran. Diagram lingkaran adalah bentuk penyajian data statistika dalam
bentuk lingkaran yang dibagi menjadi beberapa juring lingkaran. Langkah-langkah
untuk membuat diagram lingkaran adalah sebagai berikut.
1. Buatlah sebuah lingkaran pada kertas.
2. Bagilah lingkaran tersebut menjadi
beberapa juring lingkaran untuk menggambarkan kategori yang datanya telah
diubah ke dalam derajat.
3. Tabel Distribusi Frekuensi, Frekuensi
Relatif dan Kumulatif, Histogram, Poligon Frekuensi, dan Ogive
a. Tabel Distribusi Frekuensi
Data yang berukuran besar (n > 30) lebih
tepat disajikan dalam tabel distribusi frekuensi, yaitu cara penyajian data
yang datanya disusun dalam kelas-kelas tertentu. Langkah-langkah penyusunan
tabel distribusi frekuensi adalah sebagai berikut.
• Langkah ke-2 menentukan banyak interval (K)
dengan rumus "Sturgess" yaitu: K= 1 + 3,3 log n dengan n adalah
banyak data. Banyak kelas harus merupakan bilangan bulat positif hasil
pembulatan.
• Langkah ke-3 menentukan panjang interval
kelas (I) dengan menggunakan rumus:
• Langkah ke-4 menentukan batas-batas kelas.
Data terkecil harus merupakan batas bawah interval kelas pertama atau data
terbesar adalah batas atas interval kelas terakhir. • Langkah ke-5 memasukkan
data ke dalam kelas-kelas yang sesuai dan menentukan nilai frekuensi setiap
kelas dengan sistem turus. • Menuliskan turus-turus dalambilangan yang
bersesuaian dengan banyak turus.
b. Frekuensi Relatif dan Kumulatif
Frekuensi yang dimiliki setiap kelas pada
tabel distribusi frekuensi bersifat mutlak. Adapun frekuensi relatif dari suatu
data adalah dengan membandingkan frekuensi pada interval kelas itu dengan
banyak data dinyatakan dalam persen. Contoh: interval frekuensi kelas adalah
20. Total data seluruh interval kelas = 80 maka frekuensi relatif kelas ini
adalah
Frekuensi relatif dirumuskan sebagai berikut.
Frekuensi kumulatif kelas ke-k adalah jumlah
frekuensi pada kelas yang dimaksud dengan frekuensi kelas-kelas sebelumnya. Ada
dua macam frekuensi kumulatif, yaitu
1) frekuensi kumulatif "kurang
dari" ("kurang dari" diambil terhadap tepi atas kelas)
2) frekuensi kumulatif "lebih dari"
("lebih dari" diambil terhadap tepi bawah kelas).
c. Histogram dan Poligon Frekuensi
Histogram merupakan diagram frekuensi
bertangga yang bentuknya seperti diagram batang. Batang yang berdekatan harus
berimpit. Untuk pembuatan histogram, pada setiap interval kelas diperlukan
tepi-tepi kelas. Tepi-tepi kelas ini digunakan unntuk menentukan titik tengah
kelas yang dapat ditulis sebagai berikut.
Poligon frekuensi dapat dibuat dengan
menghubungkan titik-titik tengah setiap puncak persegipanjang dari histogram
secara berurutan. Agar poligon "tertutup" maka sebelum kelas paling
bawah dan setelah kelas paling atas, masing-masing ditambah satu kelas.
d. Ogive (Ogif)
Grafik yang menunjukkan frekuensi kumulatif
kurang dari atau frekuensi kumulatif lebih dari dinamakan poligon kumulatif.
Untuk populasi yang besar, poligon mempunyai banyak ruas garis patah yang
menyerupai kurva sehingga poligon frekuensi kumulatif dibuat mulus, yang
hasilnya disebut ogif. Ada dua macam ogif, yaitu sebagai berikut.
a. Ogif dari frekuensi kumulatif kurang dari
disebut ogif positif.
b. Ogif dari frekuensi kumulatif lebih dari
disebut ogif negatif.
simpangan, dan ragam
1. Rumus Rataan Hitung (Mean)
Rata-rata hitung dihitung dengan cara membagi jumlah nilai data dengan banyaknya data. Rata-rata hitung bisa juga disebut mean.
Rata-rata hitung dihitung dengan cara membagi jumlah nilai data dengan banyaknya data. Rata-rata hitung bisa juga disebut mean.
a) Rumus Rataan Hitung dari Data Tunggal
b) Rumus Rataan Hitung Untuk Data yang Disajikan
Dalam Distribusi Frekuensi
Dengan : fixi = frekuensi untuk nilai xi yang bersesuaian
xi = data ke-i
c) Rumus Rataan Hitung Gabungan
2. Rumus Modus
a. Data yang belum dikelompokkan
Modus dari data yang belum dikelompokkan adalah
ukuran yang memiliki frekuensi tertinggi. Modus dilambangkan mo.
b. Data yang telah dikelompokkan
b. Data yang telah dikelompokkan
Rumus Modus dari data yang telah dikelompokkan
dihitung dengan rumus:
Dengan : Mo = Modus
L = Tepi bawah kelas yang memiliki frekuensi tertinggi (kelas modus) i = Interval kelas
b1 = Frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas interval terdekat sebelumnya
b2 = frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas interval terdekat sesudahnya
3. Rumus Median (Nilai Tengah)
a) Data yang belum dikelompokkan
Untuk mencari median, data harus dikelompokan
terlebih dahulu dari yang terkecil sampai yang terbesar.
b) Data yang Dikelompokkan
Dengan : Qj = Kuartil ke-j
j = 1, 2, 3
i = Interval kelas
Lj = Tepi bawah kelas Qj
fk = Frekuensi kumulatif sebelum kelas Qj
f = Frekuensi kelas Qj
n = Banyak data
4. Rumus Jangkauan ( J )
Selisih antara nilai data terbesar dengan nilai
data terkecil.
5. Rumus Simpangan Quartil (Qd)
6. Rumus Simpangan baku ( S )
7. Rumus Simpangan rata – rata (SR)
8. Rumus Ragam (R)
Uji
Kompetensi 1
A.pilihlah jawaban yang tepat
1.Suatu data dimasukkan ke dalam kelas
interval 2,3- 3,1.Tepi atas
kelas interval tersebut………..
a. 2,25
b. 2,3
c. 2,35
d.3,05
e. 3,15
2.Titik tengah kelas interval 6.5-7.2
adalah………………
a. 6,45
b. 6,65
c. 6,8
d. 6,85
e. 7,25
3.Diagram lingkaran berikut menunjukkan mata
pelajaran yang disukai di kelas XA yang berjumlah 36 siswa.
Symbol yang digunakan adalah M untuk
matematika(900),F untuk fisika(200),B untuk biologi(…),K
untuk kimia(800),I untuk bahasa Indonesia(1000).Banyak
siswa yang menyukai mata pelajaran biologi ………oreang
a.
6
b.
7
c.
9
d.
11
e.
12
PENYELESAIAN.
A.Pilihan Ganda
1.Kelas interval 2,3-3,1
Tepi atas kelas=3,1+0,05=3,15(e)
2.kelas interval 6,5-7,2
Titik tengahnya= (6,5+7,2)=6,85(d)
3.B=3600-(900+200+800+1000)=700
B= 70/360x36=7 orang(b)
Materi Pelajaran Matematika
Kelas 9 BAB 4 Peluang
Teori
peluang muncul dari inspirasi para penjudi yang berusaha mencari informasi
bagaimana kesempatan mereka untuk memenangkan suatu permainan judi.
Girolamo Cardano (1501-1576), seorang penjudi dan fisikawan adalah orang
pertama yang menuliskan analisis matematika dari masalah-masalah dalam
permainan judi. Adapun ilmu hitung peluang yang dikenal dewasa ini dikemukakan
oleh tiga orang Prancis, yaitu bangsawan kaya Chevalier de Mere dan dua ahli
matematika, yaitu Blaise Pascal dan Pierre de Fermat.
Walapun teori peluang awalnya lahir dari masalah peluang memenangkan permainan judi, tetapi teori ini segera menjadi cabang matematika yang digunanakan sacara luas. Teori ini meluas penggunaannya dalam bisnis, meteorology, sains, dan industri. Misalnya perusahaan asuransi jiwa menggunakan peluang untuk menaksir berapa lama seseorang mungkin hidup; dokter menggunakan peluang untuk memprediksi kesuksesan sebuah pengobatan; ahli meteorologi menggunakan peluang untuk kondisi-kondisi cuaca; peluang juga digunanakan untuk memprediksi hasil-hasil sebelum pemilihan umum; peluang juga digunakan PLN untuk merencanakan pengembangan sistem pembangkit listrik dalam menghadapi perkembangan beban listrik di masa depan, dan lain-lain.lebih lanjut klik disini
Adapun materi peluang yang akan dibahas pada tulisan ini akan dibatasi pada masalah:
A) Percobaan, ruang sampel, dan kejadian
B) Peluang suatu kejadian
C) Peluang percobaan kompleks
D) Peluang Kejadian Majemuk
A) Percobaan, Ruang Sampel, dan Kejadian
Percobaan adalah: suatu kegiatan yang dapat diulang dengan keadaan yang sama untuk menghasilkan sesuatu.
Ruang Sampel adalah : Himpunan dari semua hasil yang mungkin dari suatu kejadian (percobaan)
Titik Sampel adalah : Anggota-anggota dari ruang sampel
Kejadian atau Peristiwa adalah himpunan bagian dari ruang sampel.
Contoh :
Walapun teori peluang awalnya lahir dari masalah peluang memenangkan permainan judi, tetapi teori ini segera menjadi cabang matematika yang digunanakan sacara luas. Teori ini meluas penggunaannya dalam bisnis, meteorology, sains, dan industri. Misalnya perusahaan asuransi jiwa menggunakan peluang untuk menaksir berapa lama seseorang mungkin hidup; dokter menggunakan peluang untuk memprediksi kesuksesan sebuah pengobatan; ahli meteorologi menggunakan peluang untuk kondisi-kondisi cuaca; peluang juga digunanakan untuk memprediksi hasil-hasil sebelum pemilihan umum; peluang juga digunakan PLN untuk merencanakan pengembangan sistem pembangkit listrik dalam menghadapi perkembangan beban listrik di masa depan, dan lain-lain.lebih lanjut klik disini
Adapun materi peluang yang akan dibahas pada tulisan ini akan dibatasi pada masalah:
A) Percobaan, ruang sampel, dan kejadian
B) Peluang suatu kejadian
C) Peluang percobaan kompleks
D) Peluang Kejadian Majemuk
A) Percobaan, Ruang Sampel, dan Kejadian
Percobaan adalah: suatu kegiatan yang dapat diulang dengan keadaan yang sama untuk menghasilkan sesuatu.
Ruang Sampel adalah : Himpunan dari semua hasil yang mungkin dari suatu kejadian (percobaan)
Titik Sampel adalah : Anggota-anggota dari ruang sampel
Kejadian atau Peristiwa adalah himpunan bagian dari ruang sampel.
Contoh :
1.
Misalkan sebuah dadu bermata enam
dilemparkan satu kali maka tentukan!
2.
Hasil yang mungkin muncul
3.
Ruang Sampel
4.
Titik sampel
5.
Banyaknya kejadian mata dadu ganjil
6.
Banyaknya kejadian mata dadu kurang
dari 3
Jawab:
1.
Hasil yang mungkin muncul adalah mata
dadu 1, 2, 3, 4, 5, atau 6
2.
Ruang sampel atau S = {1,2,3,4,5,6}
3.
Titik sampel sama dengan hasil yang
mungkin yaitu mata dadu 1,2,3,4,5 dan 6
1.
Misalkan A adalah kejadian mata dadu
ganjil
Kejadian
A={1,3,5}
Banyaknya kejadian mata dadu ganjil adalah n(A) =3
Banyaknya kejadian mata dadu ganjil adalah n(A) =3
1.
Misalkan B adalah Kejadian mata dadu
kurang dari 3
Kejadian
B={1,2}
Banyaknya kejadian mata dadu kurang dari 3 adalah n(B)=2
Banyaknya kejadian mata dadu kurang dari 3 adalah n(B)=2
1.
Sebuah mata uang logam dilambungkan
satu kali, tentukan!
2.
Ruang sampel
3.
Kejadian munculnya angka
4.
Banyaknya ruang Sampel
5.
Banyaknya kejadian muncul angka
Jawab:
Sebuah mata uang mempunyai dua sisi yaitu Angka (A) dan Gambar(G).
Sebuah mata uang mempunyai dua sisi yaitu Angka (A) dan Gambar(G).
1.
Ruang Sampelnya adalah S={A, G}
2.
Kejadian munculnya angka adalah {A}
3.
Kejadian munculnya gambar adalah {G}
4.
Banyaknya ruang sampel, n(S)=2 yaitu
{A} dan {G}
5.
Banyaknya kejadian muncul angka,
n(Angka)=1 atau n(A)=1
1.
Dua buah mata uang logam dilemparkan
bersama-sama, tentukan!
1.
Ruang
sampelnya
c. Banyaknya kejadian keduanya gambar.
2.
Banyaknya Ruang Sampel
Jawab:
1.
Ruang sampelnya
Mata Uang II
|
A
|
G
|
Mata
Uang I
|
||
A
|
AA
|
AG
|
G
|
GA
|
GG
|
Ruang
Sampelnya : {AA,GA,AG,GG}
1.
Banyaknya ruang sampel, n(S)=4
2.
Misalkan B adalah kejadian keduanya
gambar.
Kejadian
B = {GG}
Maka bayaknya kejadian keduanya gambar, n(B) = 1
Maka bayaknya kejadian keduanya gambar, n(B) = 1
1.
Dua buah dadu dilambungkan
bersama-sama. Tentukan:
1.
Ruang sampelnya
2.
Banyaknya Ruang Sampel
3.
Banyaknya kejadian mata dadu 4 pada
dadu pertama.
4.
Banyaknya kejadian mata dadu 5 pada
dadu kedua.
Jawab:
Karena ada dua buah dadu maka kita buat tabel berikut:
Karena ada dua buah dadu maka kita buat tabel berikut:
1.
Ruang sampel
Karena
ada dua buah dadu maka kita buat tabel berikut:
DADU
II
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
DADU
I
|
||||||
1
|
(1,1)
|
(1,2)
|
(1,3)
|
(1,4)
|
(1,5)
|
(1,6)
|
2
|
(2,1)
|
(2,2)
|
(2,3)
|
(2,4)
|
(2,5)
|
(2,6)
|
3
|
(3,1)
|
(3,2)
|
(3,3)
|
(3,4)
|
(3,5)
|
(3,6)
|
4
|
(4,1)
|
(4,2)
|
(4,3)
|
(4,4)
|
(4,5)
|
(4,6)
|
5
|
(5,1)
|
(5,2)
|
(5,3)
|
(5,4)
|
(5,5)
|
(5,6)
|
6
|
(6,1)
|
(6,2)
|
(5,3)
|
(6,4)
|
(6,5)
|
(6,6)
|
S={(1,1),(1,2),(1,3),
… (6,4),(6,5),(6,6)}
1.
Banyaknya Ruang sampel, n(S)= 36.
2.
Misalkan A adalah kejadian
munculnya mata dadu 4 pada dadu pertama.
Kejadian
A = {(4,1),(4,2), (4,3),(4,4),(4,5),(4,6)}
Banyaknya kejadian mata dadu 4 pada dadu pertama, n(A)=4
Banyaknya kejadian mata dadu 4 pada dadu pertama, n(A)=4
1.
Misalkan B adalah kejadian
munculnya mata dadu 5 pada dadu kedua.
Kejadian
B = {(1,5),(2,5), (3,5),(4,5),(5,5),(6,5)}
Banyaknya kejadian mata dadu 5 pada dadu kedua, n(B)=4
Banyaknya kejadian mata dadu 5 pada dadu kedua, n(B)=4
Soal Latihan
1.
Dari satu set kartu Bridge, diambil dua
kartu secara acak. Tentukan !
1.
Banyaknya Ruang sampel,
b. Bayaknya kejadian keduanya kelor(¨).
2.
Dua buah dadu dilambungkan
bersama-sama. Tentukan
1.
Banyaknya kejadian muncul mata dadu
yang berjumlah 7
2.
Banyaknya kejadian muncul mata dadu 2
pada dadu I
3.
Banyaknya kejadian muncul mata dadu 6
pada dadu II
3.
Setumpuk kartu yang bernomor 1 sampai
12. Tentukan!
4.
Ruang Sampel
5.
Banyaknya Ruang Sampel
6.
Kejadian kartu kelipatan 3
7.
Banyaknya kartu kelipatan 3
8.
Dari satu set kartu bridge, diambil dua
buah kartu. Tentukan!
1.
Kejadian terambil keduanya kartu
bergambar orang. (J,Q,K)
2.
Banyaknya Kejadian terambil keduanya
kartu bergambar orang. (J,Q,K)
9.
Tiga mata uang logam dilemparkan
bersama-sama. Tentukan!
1.
Banyaknya Ruang Sampel
2.
Kejadian mendapatkan dua gambar.
3.
Banyaknya kejadian mendapatkan dua
gambar.
10.
Sebuah kantong berisi 4 kelereng merah,
2 kelereng biru, dan 3 kelereng putih. Satu kelereng diambil secara acak.
Tentukan!
1.
Banyaknya Ruang Sampel
2.
Banyaknya kejadian mendapatkan kelereng
berwarna biru.
11.
Sebuah kotak berisi 9 bola pingpong
yang diberi warna yaitu 4 warna hitam, 3 warna putih dan 2 warna kuning.
Diambil 3 bola secara acak.Tentukan !
1.
Banyaknya Ruang Sampel
2.
Banyaknya kejadian terambilnya bola warna
hitam semua.
3.
Banyaknya kejadian terambilnya 2 bola
warna putih, dan 1 warna kuning
4.
Banyaknya kejadian terambilnya 1 bola
hitam, 1 bola putih, 1 bola kuning.
B)
Peluang suatu kejadian
1.
a. Peluang suatu Kejadian
Kejadian
atau Peristiwa adalah Himpunan bagian dari ruang
sampel.
Peluang suatu kejadian adalah Banyaknya kejadian dibagi dengan banyaknya ruang sampel.
Misalkan P(A) adalah Peluang Kejadian A, dan S adalah Ruang sampel.
Maka
P(A) : Peluang kejadian A
n(A) : Banyaknya anggota dalam kejadian A
n(S) : Banyaknya anggota ruang Sampel
Peluang suatu kejadian adalah Banyaknya kejadian dibagi dengan banyaknya ruang sampel.
Misalkan P(A) adalah Peluang Kejadian A, dan S adalah Ruang sampel.
Maka
P(A) : Peluang kejadian A
n(A) : Banyaknya anggota dalam kejadian A
n(S) : Banyaknya anggota ruang Sampel
1.
b. Kisaran Nilai Peluang
Kisaran
Nilai Peluang K adalah :
0£P(K) £1
P(K)=0 disebut Peluang Kejadian K adalah nol atau Kemustahilan
P(K)=1 disebut Peluang Kejadian K adalah 1 atau Pasti terjadi / Kepastian
0£P(K) £1
P(K)=0 disebut Peluang Kejadian K adalah nol atau Kemustahilan
P(K)=1 disebut Peluang Kejadian K adalah 1 atau Pasti terjadi / Kepastian
Contoh:
Sebuah dadu dilambungkan
satu kali. Tentukan peluang
1.
Munculnya mata dadu ganjil b.
Munculnya mata dadu kurang dari 3
Jawab:
n(S)=6
n(S)=6
1.
Misalkan A adalah Kejadian Ganjil
Kejadian
A={1,3,5}, n(A) =3
Maka Peluang munculnya mata dadu ganjil adalah
= 3/6=1/2
Maka Peluang munculnya mata dadu ganjil adalah
= 3/6=1/2
1.
Misalkan B adalah Kejadian mata dadu
kurang dari 3
Kejadian
B={1,2}, n(B)=3
Maka peluang munculnya mata dadu kurang dari 3 adalah
= 3/6=1/2
Maka peluang munculnya mata dadu kurang dari 3 adalah
= 3/6=1/2
1.
Dua buah mata uang logam dilemparkan ke
atas bersama-sama, tentukan!
1.
Peluang munculnya satu
gambar b. Peluang muncul keduanya gambar
Jawab:
n(S) = 4
n(S) = 4
1.
Misalkan A adalah kejadian satu
gambar.
Kejadian
A = {GA , AG}, n(A) = 2
Maka peluang kejadian satu gambar:
=2/4 =1/2
Maka peluang kejadian satu gambar:
=2/4 =1/2
1.
Misalkan B adalah kejadian keduanya
gambar.
Kejadian
B = {GG}, n(B) = 1
Maka peluang kejadian keduanya gambar:
=1/4
Maka peluang kejadian keduanya gambar:
=1/4
1.
Dua buah dadu dilambungkan ke atas
bersama-sama. Tentukan peluang munculnya mata dadu 4 pada dadu pertama dan mata
dadu 5 pada dadu kedua
Jawab:
Misalkan A adalah Kejadian munculnya angka mata dadu 4 pada dadu I.
Dan Kejadian B adalah kejadian munculnya angka mata dadu 5 pada dadu II.
n(S)=36
Karena ada dua buah dadu maka kita buat tabel berikut:
Misalkan A adalah Kejadian munculnya angka mata dadu 4 pada dadu I.
Dan Kejadian B adalah kejadian munculnya angka mata dadu 5 pada dadu II.
n(S)=36
Karena ada dua buah dadu maka kita buat tabel berikut:
DADU II
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
DADU
I
|
||||||
1
|
(1,1)
|
(1,2)
|
(1,3)
|
(1,4)
|
(1,5)
|
(1,6)
|
2
|
(2,1)
|
(2,2)
|
(2,3)
|
(2,4)
|
(2,5)
|
(2,6)
|
3
|
(3,1)
|
(3,2)
|
(3,3)
|
(3,4)
|
(3,5)
|
(3,6)
|
4
|
(4,1)
|
(4,2)
|
(4,3)
|
(4,4)
|
(4,5)
|
(4,6)
|
5
|
(5,1)
|
(5,2)
|
(5,3)
|
(5,4)
|
(5,5)
|
(5,6)
|
6
|
(6,1)
|
(6,2)
|
(5,3)
|
(6,4)
|
(6,5)
|
(6,6)
|
Kejadian
A dan B adalah : {(4,5)}
Peluang munculnya adalah
Peluang munculnya adalah
1.
Sebuah dadu bermata enam dilemparkan ke
atas satu kali maka tentukan peluang munculnya mata dadu 9.
Jawab
:
Mustahil terjadi, P=0 (Kemustahilan)
Mustahil terjadi, P=0 (Kemustahilan)
1.
Tentukan peluang matahari akan terbit
dari timur pagi hari.
Jawab:
Terbitnya matahari dari timur bukan sebuah percobaan. (Pasti)
Terbitnya matahari dari timur bukan sebuah percobaan. (Pasti)
Soal Latihan
1.
Dua buah mata uang logam dilemparkan ke
atas bersama-sama, tentukan!
2.
Dari satu set kartu Bridge, diambil dua
kartu secara acak. Berapa peluang terambil keduanya kelor (¨)?
3.
Dua buah dadu dilambungkan ke atas
bersama-sama. Tentukan peluang :
1.
Munculnya mata dadu yang berjumlah 7
2.
Munculnya mata dadu 2 pada dadu I
3.
Munculnya mata dadu 6 pada dadu II
4.
Setumpuk kartu yang bernomor 1 sampai
12. Tentukan peluang terambilnya kartu kelipatan 3
5.
Dua buah dadu dilambungkan ke atas
bersama-sama. Tentukan peluang muncul keduanya berjumlah kurang dari 8
6.
Dari satu set kartu bridge, diambil dua
buah kartu. Tentukan peluang terambil keduanya kartu bergambar orang. (J,Q,K)
7.
Tiga mata uang logam dilemparkan
bersama-sama. Tentukan peluang mendapatkan dua gambar dan satu angka.
8.
Sebuah kantong berisi 4 kelereng merah,
2 kelereng biru, dan 3 kelereng putih. Satu kelereng diambil secara acak.
Tentukan peluang mendapatkan kelereng berwarna biru!
9.
Sebuah kotak berisi 9 bola pingpong
yang diberi warna yaitu 4 warna hitam, 3 warna putih dan 2 warna kuning.
Diambil 3 bola secara acak. Tentukan Peluang!
1.
Terambilnya bola warna hitam semua,
2.
Terambilnya 2 warna putih dan 1 warna
kuning,
3.
Terambilnya 1 hitam, 1 putih dan 1
kuning.
1.
Peluang munculnya satu angka
2.
Peluang muncul keduanya angka
Menentukan
frekuensi harapan suatu kejadian
Ringkasan materi
Frekuensi
harapan
suatu peristiwa pada suatu percobaan yang dilakukan sebanyak n kali adalah
Hasil kali peluang peristiwa itu dengan n.
fh = n x P(A)
fh = n x P(A)
Contoh:
1.
Sebuah mata uang logam dilemparkan 50
kali. Tentukan frekuensi harapan munculnya angka
Jawab:
Misalkan A adalah kejadian munculnya angka pada mata uang.
Ruang Sampel , S={A,G},n(S)=2
Kejadian A={A},n(A)=1,
P(A)=1/2
Maka frekuensi harapan munculnya angka adalah
fh(A)=1/2 x 50 = 25 kali
Misalkan A adalah kejadian munculnya angka pada mata uang.
Ruang Sampel , S={A,G},n(S)=2
Kejadian A={A},n(A)=1,
P(A)=1/2
Maka frekuensi harapan munculnya angka adalah
fh(A)=1/2 x 50 = 25 kali
1.
Sebuah dadu dilambungkan 30 kali.
Tentukan frekuensi harapan munculnya mata dadu prima.
Jawab:
Misalkan B adalah kejadian munculnya mata dadu Prima.
Ruang Sampel adalah S={1,2,3,4,5,6},n(S)=6
Kejadian B adalah B={2,3,5}, n(B)=3,
P(B) = 3/6 =1/2
Maka frekuensi harapan munculnya mata dadu prima adalah
fh(B) = 1/2 x 30 = 15 kali
Misalkan B adalah kejadian munculnya mata dadu Prima.
Ruang Sampel adalah S={1,2,3,4,5,6},n(S)=6
Kejadian B adalah B={2,3,5}, n(B)=3,
P(B) = 3/6 =1/2
Maka frekuensi harapan munculnya mata dadu prima adalah
fh(B) = 1/2 x 30 = 15 kali
1.
Peluang seseorang akan terjangkit
penyakit virus AIDS-HIV di Indonesia pada tahun 2005 adalah 0,00032. Diantara
230 juta penduduk Indonesia, berapa kira-kira yang terjangkit virus tersebut
pada tahun 2005?
Jawab:
Misalkan C adalah kejadian terjangkitnya seseorang oleh virus AIDS-HIV
P(C) =0,00032
Maka fh(C) = 0,00032 x 230.000.000 = 73.600 orang
Misalkan C adalah kejadian terjangkitnya seseorang oleh virus AIDS-HIV
P(C) =0,00032
Maka fh(C) = 0,00032 x 230.000.000 = 73.600 orang
Soal Latihan
1.
Sebuah uang koin dilambungkan 600 kali.
Tentukan frekuensi harapan munculnya gambar
2.
Peluang Grup A akan memenangkan pertandingan
volly terhadap grup B adalah . Berapa frekuensi harapan grup A akan menang jika
pertandingan tersebut direncanakan 12 kali.
3.
Dalam suatu kotak terdapat 4 bola merah
dan 2 bola putih. Diambil secara acak dua bola. Jika percobaan ini dilakukan 10
kali, tentukan frekuensi harapan terambilnya dua bola merah!
4.
Pada bulan April 2004 (jumlah hari ada
30) peluang akan turun hujan untuk satu hari menurut perkiraan cuaca adalah
0,2. Berapa kali hujan yang diharapkan terjadi pada bulan tersebut.
5.
Peluang bola lampu akan rusak dalam
sebuah peti lampu adalah 0,11. Berapa banyak lampu yang akan rusak dalam peti
tersebut jika terdapat 205 bola lampu?
6.
Dua buah dadu dilambungkan 120 kali.
Berapa frekuensi harapan munculnya mata dadu yang kembar (mata dadu sama).
Menentukan
Peluang Komplemen Suatu Kejadian
Ringkasan Materi
Komplemen
dari kejadian A ditulis Ac adalah kejadian bukan A.
Peluang kejadian bukan A dirumuskan :
Peluang kejadian bukan A dirumuskan :
Contoh:
1.
Sebuah dadu dilambungkan ke atas satu
kali. Jika kejadian A adalah munculnya mata dadu genap, maka tentukan kejadian
bukan A
Jawab:
Ruang Sampel adalah S = {1,2,3,4,5,6}, n(S)=6
Kejadian A adalah A={2,4,6}, n(A)=3
Kejadian Bukan A adalah Ac = {1,3,5} ,karena A dan Ac ÎS
Ruang Sampel adalah S = {1,2,3,4,5,6}, n(S)=6
Kejadian A adalah A={2,4,6}, n(A)=3
Kejadian Bukan A adalah Ac = {1,3,5} ,karena A dan Ac ÎS
1.
Dari seperangkat kartu Bridge, diambil
secara acak sebuah kartu. Tentukan peluang terambilnya
1.
Bukan kartu Ace
2.
Bukan kartu berwarna merah
Jawab:
1.
Banyaknya ruang sampel n(S) =52
Misalkan
A adalah kejadian terambilnya kartu Ace.
n(Ace) = n(A) = 4
Peluang terambilnya Ace, P(A)=4/52 =1/13
Maka peluang bukan Ace, P(Ac) = 1 – 1/13 = 12/13
n(Ace) = n(A) = 4
Peluang terambilnya Ace, P(A)=4/52 =1/13
Maka peluang bukan Ace, P(Ac) = 1 – 1/13 = 12/13
1.
Misalkan B adalah kejadian terambilnya
kartu berwarna merah.
n(Merah)
= n(B) = 26 (ada 26 berwarna merah)
Banyaknya ruang sampel n(S) =52
Peluang terambilnya kartu merah , P(B)= = =
Maka peluang terambilnya bukan kartu berwarna merah, P(Bc) = 1 – =
Banyaknya ruang sampel n(S) =52
Peluang terambilnya kartu merah , P(B)= = =
Maka peluang terambilnya bukan kartu berwarna merah, P(Bc) = 1 – =
Soal Latihan
1.
Dua buah dadu dilambungkan ke atas
bersama-sama satu kali. Tentukan peluang munculnya mata dadu bukan kembar.
2.
Dalam sebuah kantong terdapat 10
kelereng merah, dan 8 kelereng putih, jika diambil 2 kelereng secara acak
berapakah peluang mendapatkan sedikitnya satu kelereng putih?
3.
Dari setumpuk bola dalam karton
yang diberi nomor 1 sampai dengan 20, diambil dua bola secara acak. Berapakah
peluang mendapatkan bola yang nomornya berjumlah lebih dari 5?
4.
Dalam sebuah kantong terdapat 15
baterai, terdapat 5 buah baterai yang rusak/mati. Jika dipilih 3 buah baterai
secara acak, berapakah peluang:
1.
Tidak ada yang rusak?
2.
Hanya sebuah yang rusak?
3.
Sekurang-kurangnya sebuah yang rusak?
5.
Dalam suatu kelas terdapat 6 siswa
gemar belajar Fisika, 5 siswa gemar belajar Kimia, dan 4 siswa gemar belajar
matematika. Jika dipanggil 3 orang siswa oleh gurunya untuk datang ke Ruang
guru, Berapa peluang tidak terpanggilnya siswa yang gemar belajar Fisika?
6.
Dalam sebuah dos terdapat 3 kaleng
Coca-cola, 4 kaleng Sprite dan 4 kaleng Fanta. Akan diambil 3 kaleng secara
acak. Berapa peluang terambil maksimal dua jenis kaleng dari ketiga
jenis kaleng tersebut?.
Materi Pelajaran Matematika
Kelas 9 BAB 5 Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar
Untuk
materi ini mempunyai 3 Kompetensi Dasar yaitu:
Kompetensi Dasar :
Kompetensi Dasar :
1.
Mengidentifikasi sifat-sifat bilangan
berpangkat dan bentuk akar
2.
Melakukan operasi aljabar yang
melibatkan bilangan berpangkat bulat dan bentuk akar
3.
Memecahkan masalah sederhanayang
berkaitan dengan bilangan berpangkat dan bentuk akar
Bilangan Bulat dengan Eksponen Bilangan Bulat Positif
Masih
ingat bentuk berikut :
32 = 3 x 3
23 = 2 x 2 x 2
56 = 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5
Demikian seterusnya sehingga diperoleh bentuk umum sebagai berikut.
Dengan a bilangan bulat dan n bilangan bulat positif Dari pengertian di atas akan diperoleh sifat-sifat berikut.
Sifat 1
an x an = am + n
24 x 23 = (2 x 2 x 2 x 2 )x(2 x 2 x 2 )
= 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
= 27
= 24+3
Sifat 2
am : an = am - n, m > n
55 : 53 = (5 x 5 x 5 x 5 x 5) : (5 x 5 x 5)
= 5 x 5
= 52
= 55 - 3
Sifat 3
(am)n = am x n
(34)2 = 34 x 34
= (3 x 3 x 3 x 3) x (3 x 3 x 3 x 3)
= (3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3)
= 38
= 34 x 2
Sifat 4
(a x b)m = am x bm
(4 x 2)3 = (4 x 2) x (4 x 2) x (4 x 2)
= (4 x 4 x 4) x (2 x 2 x 2)
= 43 x 23
Sifat 5
(a : b)m = am : bm
(6 : 3) 4 = (6 : 3) x (6 : 3) x (6 : 3) x (6 : 3)
= (6 x 6 x 6 x 6) : (3 x 3 x 3 x 3)
= 64 : 34
32 = 3 x 3
23 = 2 x 2 x 2
56 = 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5
Demikian seterusnya sehingga diperoleh bentuk umum sebagai berikut.
Dengan a bilangan bulat dan n bilangan bulat positif Dari pengertian di atas akan diperoleh sifat-sifat berikut.
Sifat 1
an x an = am + n
24 x 23 = (2 x 2 x 2 x 2 )x(2 x 2 x 2 )
= 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
= 27
= 24+3
Sifat 2
am : an = am - n, m > n
55 : 53 = (5 x 5 x 5 x 5 x 5) : (5 x 5 x 5)
= 5 x 5
= 52
= 55 - 3
Sifat 3
(am)n = am x n
(34)2 = 34 x 34
= (3 x 3 x 3 x 3) x (3 x 3 x 3 x 3)
= (3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3)
= 38
= 34 x 2
Sifat 4
(a x b)m = am x bm
(4 x 2)3 = (4 x 2) x (4 x 2) x (4 x 2)
= (4 x 4 x 4) x (2 x 2 x 2)
= 43 x 23
Sifat 5
(a : b)m = am : bm
(6 : 3) 4 = (6 : 3) x (6 : 3) x (6 : 3) x (6 : 3)
= (6 x 6 x 6 x 6) : (3 x 3 x 3 x 3)
= 64 : 34
Bilangan
Bulat dengan Eksponen Bilangan Bulat Negatif
Dari pola bilangan itu dapat disimpulkan bahwa 20 = 1 dan 2-n = 1/2n , secara umum dapat ditulis :
Pecahan Berpangkat Bilangan Bulat
Kita telah mengetahui bahwa pecahan adalah bilangan dalam bentuk dengun a dan b bilangan bulat (b ≠ 0). Bagaimanakah jika pecahan dipangkatkan dengan bilangan bulat? Untuk menentukan hasil pecahan yang dipangkatkan dengan bilangan bulat, caranya sama dengan menentukan hasil bilangan bulat yang dipangkatkan dengan bilangan bulat.
Contoh:
Tentukan hasil berikut ini!
(1/2)5
Jawab :
Bentuk
Akar dan Bilangan Berpangkat Pecahan
Bilangan Rasional dan
Irasional
Bilangan
rasional
adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a/b
dengan a, b bilangan bulat dan b ≠ 0. Bilangan rasional merupakan gabungan dari
bilangan bulat, nol, dan pecahan. Contoh bilangan rasional adalah -5, -1/2,
0, 3, 3/4, dan 5/9.
Sebaliknya, bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk a/b dengan a, b bilangan bulat dan b ≠ 0.
Contoh bilangan irasional adalah . Bilangan-bilangan tersebut, jika dihitung dengan kalkulator merupakan desimal yang tak berhenti atau bukan desimal yang berulang. Misalnya
√2 = 1,414213562 .... Selanjutnya, gabungan anrara bilangan rasional dan irasional disebut bilangan real.
Sebaliknya, bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk a/b dengan a, b bilangan bulat dan b ≠ 0.
Contoh bilangan irasional adalah . Bilangan-bilangan tersebut, jika dihitung dengan kalkulator merupakan desimal yang tak berhenti atau bukan desimal yang berulang. Misalnya
√2 = 1,414213562 .... Selanjutnya, gabungan anrara bilangan rasional dan irasional disebut bilangan real.
Bentuk Akar
Berdasarkan
pembahasan sebelumnya, contoh bilangan irasional adalah √2 dan √5 .
Bentuk seperti itu disebut bentuk akar. Dapatkah kalian menyebutkan contoh yang
lain?
Bentuk akar adalah akar dari suatu bilangan yang hasilnya bukan bilangan Rasional.
Bentuk akar dapat disederhanakan menjadi perkalian dua buah akar pangkat bilangan dengan salah satu akar memenuhi definisi
√a2 = a jika a ≥ 0, dan –a jika a < 0
Contoh :
Sederhanakan bentuk akar berikut √75
Jawab :
√75 = √25x3 = √25 x √3 = 5√3
Bentuk akar adalah akar dari suatu bilangan yang hasilnya bukan bilangan Rasional.
Bentuk akar dapat disederhanakan menjadi perkalian dua buah akar pangkat bilangan dengan salah satu akar memenuhi definisi
√a2 = a jika a ≥ 0, dan –a jika a < 0
Contoh :
Sederhanakan bentuk akar berikut √75
Jawab :
√75 = √25x3 = √25 x √3 = 5√3
Mengubah Bentuk Akar
Menjadi Bilangan Berpangkat Pecahan dan Sebaliknya
Bentuk
√a dengan a bilangan bulat tidak negatif disebut bentuk akar kuadrat dengan
syarat tidak ada bilangan yang hasil kuadratnya sama dengan a. oleh karena itu
√2,√3, √5, √10, √15 dan √19 merupakan bentuk akar kuadrat. Untuk selanjutnya,
bentuk akar n√am dapat ditulis am/n (dibaca: a
pangkat m per n). Bentuk am/n disebut bentuk pangkat pecahan.
contoh :
jawab :
contoh :
jawab :
Operasi
Aljabar pada Bentuk Akar
Penjumlahan dan Pengurangan
Penjumlahan
dan pengurangan pada bentuk akar dapat dilakukan jika memiliki suku-suku yang
sejenis.
kesimpulan :
jika a, c = Rasional dan b ≥ 0, maka berlaku
a√b + c√b = (a + c)√b
a√b - c√b = (a - c)√b
kesimpulan :
jika a, c = Rasional dan b ≥ 0, maka berlaku
a√b + c√b = (a + c)√b
a√b - c√b = (a - c)√b
Perkalian dan Pembagian
Perpangkatan
Kalian
tentu masih ingat bahwa (a^)" = a^'. Rumus tersebut juga berlaku pada
operasi perpangkatan dari akar suatu bilangan.
Contoh:
Contoh:
Operasi Campuran
Dengan
memanfaatkan sifat-sifat pada bilangan berpangkat, kalian akan lebih mudah
menyelesaikan soal-soal operasi campuran pada bentuk akarnya. Sebelum melakukan
operasi campuran, pahami urutan operasi hitung berikut.
- Prioritas yang didahulukan pada operasi bilangan adalah bilangan-bilangan yang ada dalam tanda kurung.
- Jika tidak ada tanda kurungnya maka
1.
pangkat dan akar sama kuat;
2.
kali dan bagi sama kuat;
3.
tambah dan kurang sama kuat, artinya
mana yang lebih awal dikerjakan terlebih dahulu;
4.
kali dan bagi lebih kuat daripada
tambah dan kurang, artinya kali dan bagi dikerjakan terlebih dahulu.
Merasionalkan
Penyebut
Dalam
perhitungan matematika, sering kita temukan pecahan dengan penyebut bentuk
akar, misalnya
Agar nilai pecahan tersebut lebih sederhana maka penyebutnya harus dirasionalkan terlebih dahulu. Artinya tidak ada bentuk akar pada penyebut suatu pecahan. Penyebut dari pecahan-pecahan yang akan dirasionalkan berturut-turut adalah
Merasionalkan penyebut adalah mengubah pecahan dengan penyebut bilangan irasional menjadi pecahan dengan penyebut bilangan rasional.
Agar nilai pecahan tersebut lebih sederhana maka penyebutnya harus dirasionalkan terlebih dahulu. Artinya tidak ada bentuk akar pada penyebut suatu pecahan. Penyebut dari pecahan-pecahan yang akan dirasionalkan berturut-turut adalah
Merasionalkan penyebut adalah mengubah pecahan dengan penyebut bilangan irasional menjadi pecahan dengan penyebut bilangan rasional.
Penyebut Berbentuk √b
Jika a
dan b adalah bilangan rasional, serta √b adalah bentuk akar maka pecahan a/√b
dapat dirasionalkan penyebutnya dengan cara mengalikan pecahan tersebut dengan √b/√b
.
Contoh :
Sederhanakan pecahan berikut dengan merasionalkan penyebutnya!
jawab :
Contoh :
Sederhanakan pecahan berikut dengan merasionalkan penyebutnya!
jawab :
Penyebut Berbentuk (a+√b)
atau (a+√b)
Jika
pecahan-pecahan mempunyai penyebut berbentuk (a+√b) atau (a+√b) maka pecahan
tersebut dapat dirasionalkan dengan cara mengalikan pembilang dan penyebutnya
dengan sekawannya. Sekawan dari (a+√b) adalah (a+√b) adalah dan sebaliknya.
Bukti
Contoh :
Rasionalkan penyebut pecahan berikut.
jawab :
Bukti
Contoh :
Rasionalkan penyebut pecahan berikut.
jawab :
Penyebut Berbentuk (√b+√d)
atau (√b+√d)
Pecahan
tersebut dapat dirasionalkan dengan mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan
bentuk akar sekawannya, yaitu sebagai berikut.
Contoh:
Selesaikan soal berikut!
Jawab :
Contoh:
Selesaikan soal berikut!
Jawab :
Materi Pelajaran Matematika
Kelas 9 BAB 6 Barisan dan Deret
Barisan Aritmatika
(1) 3, 7, 11, 15, 19, ...
(2) 30, 25, 20, 15, 10,...
Perhatikan bahwa selisih di antara suku-sukunya selalu tetap. Barisan yang demikian itu disebut barisan aritmetika. Selisih itu disebut beda suku atau beda saja dan dilambangkan dengan c.
Barisan (l) mempunyai beda, b = 4. Barisan ini disebut barisan aritmetika naik karena nilai suku-sukunya makin besar.
Barisan (2) mempunyai beda, b = -5. Barisan ini disebut barisan aritmetika turun karena nilai suku-sukunya makin kecil.
Suatu barisan U1, U2, U3,....disebut barisan aritmetika jika selisih dua suku yang berurutan adalah tetap. Nilai Untuk menentukan suku ke-n dari barisan aritmetika. perhatikan kembali contoh barisan (l).
3, 7, 11, 15, 19, ...
Misalkan U1, U2, U3 , .... adalah barisan aritmetika tersebut maka
U1 = 3 =+ 4 (0)
U2 = 7 = 3 + 4 = 3 + 4 (1)
U3 = 11 = 3 + 4 + 4 = 3 + 4 (2)
....
Un = 3 + 4(n-1)
Secara umum, jika suku pertama (U1) = a dan beda suku yang berurutan adalah b maka dari rumus Un = 3 + 4(n - 1) diperoleh 3 adalah a dan 4 adalah b. Oleh sebab itu, suku ke-n dapat dirumuskan
Un = a + b(n-1)
Barisan aritmetika yang mempunyai beda positif disebut barisan aritmetika naik, sedangkan jika bedanya negatif disebut barisan aritmetika turun.
U1, U2, U3, .......Un-1, Un disebut barisan aritmatika, jika
U2 - U1 = U3 - U2 = .... = Un - Un-1 = konstanta
Un = a + (n-1)b = bn + (a-b) → Fungsi linier dalam n
(2) 30, 25, 20, 15, 10,...
Perhatikan bahwa selisih di antara suku-sukunya selalu tetap. Barisan yang demikian itu disebut barisan aritmetika. Selisih itu disebut beda suku atau beda saja dan dilambangkan dengan c.
Barisan (l) mempunyai beda, b = 4. Barisan ini disebut barisan aritmetika naik karena nilai suku-sukunya makin besar.
Barisan (2) mempunyai beda, b = -5. Barisan ini disebut barisan aritmetika turun karena nilai suku-sukunya makin kecil.
Suatu barisan U1, U2, U3,....disebut barisan aritmetika jika selisih dua suku yang berurutan adalah tetap. Nilai Untuk menentukan suku ke-n dari barisan aritmetika. perhatikan kembali contoh barisan (l).
3, 7, 11, 15, 19, ...
Misalkan U1, U2, U3 , .... adalah barisan aritmetika tersebut maka
U1 = 3 =+ 4 (0)
U2 = 7 = 3 + 4 = 3 + 4 (1)
U3 = 11 = 3 + 4 + 4 = 3 + 4 (2)
....
Un = 3 + 4(n-1)
Secara umum, jika suku pertama (U1) = a dan beda suku yang berurutan adalah b maka dari rumus Un = 3 + 4(n - 1) diperoleh 3 adalah a dan 4 adalah b. Oleh sebab itu, suku ke-n dapat dirumuskan
Un = a + b(n-1)
Barisan aritmetika yang mempunyai beda positif disebut barisan aritmetika naik, sedangkan jika bedanya negatif disebut barisan aritmetika turun.
U1, U2, U3, .......Un-1, Un disebut barisan aritmatika, jika
U2 - U1 = U3 - U2 = .... = Un - Un-1 = konstanta
Un = a + (n-1)b = bn + (a-b) → Fungsi linier dalam n
Deret Aritmatika
Seperti
telah dibahas sebelumnya, deret adalah bentuk penjumlahan dari suku-suku pada
sebuah barisan. Jika U1, U2, U3, ... barisan
aritmetika. U1, U2, U3, ... adalah deret
aritmetika.
Untuk mendapatkan jumlah n suku pertama dari deret aritmetika, perhatikan kembali deret yang dihasilkan barisan (l ).
3 +7 + 1l + 15 + 19 + ...
Jika jumlah n suku pertama dinotasikan dengan.Sn maka S dari deret di atas adalah :
Perhatikan jumlah 5 suku pertama, S yang diperoleh. Angka 3 pada perhitungan tersebut berasal dari suku pertama, sedangkan l9 adalah suku ke-5. Oleh karena itu, jumlah suku ke-n adalah
Jika nilai Un tidak diketahui, kita gunakan rumus Un, barisan aritmetika, yaitu Un = a + (n-1)b, sehingga jumlah n suku pertama adalah
jumlah n suku pertama dari suatu deret aritmetika yang suku pertamanya a dan beda b adalah
Untuk memudahkan perhitungan Sn suatu deret aritmetika, perhatikan hal-hal berikut. a. Jika diketahui suku pertama a dan beda b, gunakan rumus
b. Jika diketahui suku pertama dan suku ke-n,gunakan rumus
Untuk mendapatkan jumlah n suku pertama dari deret aritmetika, perhatikan kembali deret yang dihasilkan barisan (l ).
3 +7 + 1l + 15 + 19 + ...
Jika jumlah n suku pertama dinotasikan dengan.Sn maka S dari deret di atas adalah :
Perhatikan jumlah 5 suku pertama, S yang diperoleh. Angka 3 pada perhitungan tersebut berasal dari suku pertama, sedangkan l9 adalah suku ke-5. Oleh karena itu, jumlah suku ke-n adalah
Jika nilai Un tidak diketahui, kita gunakan rumus Un, barisan aritmetika, yaitu Un = a + (n-1)b, sehingga jumlah n suku pertama adalah
jumlah n suku pertama dari suatu deret aritmetika yang suku pertamanya a dan beda b adalah
Untuk memudahkan perhitungan Sn suatu deret aritmetika, perhatikan hal-hal berikut. a. Jika diketahui suku pertama a dan beda b, gunakan rumus
b. Jika diketahui suku pertama dan suku ke-n,gunakan rumus
SOAL
LATIHAN
1.
Selisih
dua bilangan asli adalah 36 dan bilangan kedua adalah lima kali bilangan
pertama. Jika kedua bilangan itu berturut – turut membentuk suku kelima
dan suku kedua suatu barisan aritmetika maka tentukan suku ke sepuluh!
Penyelesaian :
*) y – x = 36 → y = 36 + x →
5x = 36 + x
*) y= 5x
4x = 36→ x = 9 → y = 45
U5 = 9 → a + 4b =
9
U2 = 45 → a + b = 45 -
3b = -36
b = – 12
U10 = a + 9b
a =
57
= 57 – 108 = – 51
2.
Misalkan
a1 + a2 + a3 + a4 + a5 +
a6 adalah suatu deret aritmetika yang berjumlah 75. Jika a2
= 8 maka tentukan a6 !
a1 + a2 + a3 + a4 + a5 +
a6 =
75
a2 = 8
a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + (a + 4b) + (a + 5b) =
75 a + b = 8
6a + 15b =
75
a = 8 – b
2a + 5b = 25
2(8 – b) + 5b = 25
16 + 3b = 25 → b = 3 → a = 5 → a6 = a + 5b = 5 + 15 = 20
3.
1
– 3 + 5 + 7 – 9 + 11 + 13 – 15 + 17 + 19 – 21 + ….. + 193 – 195 + 197 = ?
= 1–3+(5+7)–9+(11+13)–15+(17+19)–21+ …..–189+(191+ 193)–195+197
= 1–3+ 12
–9+ 24 –
15+ 36 –
21+….. – 189 + 384
– 195 + 197
= 1 + 197 + (12 + 24 + 36 + … + 384) –
3 – 9 – 15 – ……. – 195
= 198 + 16(12 + 384) – 33/2(3 + 195)
= 198 + 6336 – 3267 = 3267
4.
Jika
bilangan ganjil dikelompokkan seperti berikut :
kelompok 1 : {1},
kelompok 2 : {3,5},
kelompok 3 : {7,9,11},
kelompok 4 : {13,15,17,19}, …
dst
maka berapakah bilangan pertama dari kelompok ke-100 ?
kelompok 1 :
{1}
= 12 – 0
kelompok 2 : {3,5}
= 22 – 1
kelompok 3 :
{7,9,11}
= 32 – 2
kelompok 4 :
{13,15,17,19} = 42 – 3
.
.
Kelompok 100 :
= 1002 – 99 = 10.000 – 99 = 9.901
5.
Tiga
buah bilangan positif membentuk barisan aritmetika dengan beda 16. Jika bilangan
terkecil ditambah 10 dan bilangan terbesar dikurangi 7, maka diperoleh barisan
geometri. Tentukan jumlah ketiga bilangan tersebut !
Misalkan bilangan itu : a – 16, a , a + 16
(a + 16 – 7 ) : a = a : (a – 16 + 10)
a2 = (a + 9)(a – 6)
a2 = a2 + 3a – 54
3a = 54 → a = 18
Sehingga jumlah 3 bilangan itu = 2 + 18 + 34 = 54
6.
Jika
jumlah sepuluh suku pertama suatu deret aritmetika adalah – 110 dan jumlah dua
suku berturut-turut berikutnya adalah 2 maka tentukan jumlah 2 suku pertama !
S10 = 5(2a +
9b)
U11 + U12 =
2
2a + 9b = – 22
– 110 = 5(2a + 9b)
a + 10b + a+ 11b =2
2a + 21b = 2 -
– 22 = 2a +
9b 2a + 21b =
2
12b = 24
b =2 → a = – 20
sehingga a + a + b = – 40 + 2 = – 38
7.
Jika
a, b, c, d dan e membentuk barisan geometri dan a.b.c.d.e = 1.024 maka
berapakah nilai c ?
a.b.c.d.e =
1.024
a.ar.ar2.ar3.ar4 = 45
karena c merupakan suku ke-3 maka
a5.r10 = 45
c = ar2 = 4
(ar2)5 = 45
ar2 = 4
8.
Diketahui
barisan bilangan bulat 3, x, y dan 18. Jika tiga bilangan pertama membentuk
barisan geometri dan tiga bilangan terakhir membentuk barisan aritmetika. Maka
tentukan x + y !
y : x = x :
3
18 – y = y – x
x2 = 3y
2y = 18 + x → y = (18 + x)/2
x2 = 3(18 + x)/2
2x2 = 3(18 +
x)
sehingga : x + y = 6 + 12 = 18
2x2 – 3x – 54 =0
(2x + 9)(x – 6) = 0
x = 6 → y = 12
9.
Diketahui
p, q dan r merupakan akar – akar persamaan suku banyak berderajat tiga. Jika p,
q dan r membentuk barisan aritmetika, dengan suku ketiga tiga kali suku pertama
dan jumlah dari ketiga akar adalah 12 maka tentukan persamaan dari
suku banyak tersebut !
r – q = q –
p
r = 3p
p + q + r = 12
2q = p + r
p + 2p + 3p = 12
2q = p +
3p
6p = 12
2q =
4p
p = 2→ q = 4 → r = 6
q = 2p
sehingga persamaan suku banyaknya : (x – 2)(x – 4)(x – 6) = 0
10.
Pada
suatu barisan geometri dengan r > 1, diketahui dua kali jumlah empat suku
pertama adalah tiga kali jumlah dua suku genap pertama. Jika diantara suku –
suku tersebut disisipkan empat bilangan, dengan cara : antara suku kedua dan
ketiga disisipkan satu bilangan dan antara suku ketiga dan keempat disisipkan
tiga buah bilangan maka akan terbentuk barisan aritmetika dengan beda r. Hitung
jumlah dari bilangan yang disisipkan !
2S4 = 3(U2 +U4)
2 a(r4 - 1)/(r - 1) = 3(ar + ar3)
2a(r4 – 1) = 3ar(1 + r2)(r – 1)
2(r2 + 1)(r – 1)(r + 1) = 3r(r2 +1)(r –
1) x = a + 2b
= 2 + 4 = 6
2r + 2 =
3r
y = a + 4b = 2 + 8 = 10
r =
2
z = a + 5b = 2 + 10 = 12
U1 U2 x U3 y z w U4
w =a+ 6b = 2 + 12 =14 +
a 2a
4a
8a
x + y + z + w = 42
b =2a – a
2 = a
Tidak ada komentar:
Posting Komentar